Znak plus-minus

Znak plus-minus (±) jest symbolem o wielu znaczeniach.

• W matematyce – zazwyczaj oznacza wybór dokładnie dwóch wartości, z których jedną można uzyskać poprzez dodawanie, a drugą poprzez odejmowanie.
• W naukach eksperymentalnych – oznacza przedział ufności lub rachunek błędów w pomiarze (m.in.: błąd standardowy oraz odchylenie standardowe). Może również przedstawiać odczytywalny przedział wartości.
• W inżynierii – oznacza tolerancję, będącą przedziałem wartości uznawanych za akceptowalne, bezpieczne lub zgodne z ustalonym standardem lub kontraktem.
• W botanice – używany w opisach morfologicznych, oznacza „mniej więcej”.
• W chemii – używany do mieszanin racemicznych.
• W szachach – oznacza widoczną przewagę białych; znak ∓ oznacza widoczną przewagę czarnych.

Historia

Wersja znaku plus-minus, łącznie z francuskim słowem ou („lub”), była użyta przez matematyka Alberta Girarda w 1626 roku. Współczesna forma była użyta już w 1631 roku w Clavis Mathematicae Williama Oughtreda.

Użycie

Matematyka

We wzorach matematycznych znak ± może zostać zastosowany jako zastępstwo znaków i -. Pozwala to przedstawić dwie wartości lub równania naraz.

Przykładowo, jednym ze sposobów na zapisanie wyniku równania ${\displaystyle x^{2}=9,}$ może być ${\displaystyle x=\pm 3.}$ Oznacza to, że równanie ma dwa rozwiązania, które można otrzymać poprzez zastąpienie ${\displaystyle x=\pm 3}$ przez ${\displaystyle x= 3}$ lub ${\displaystyle x=-3.}$ Tylko jedno z tych dwóch zastąpionych równań jest prawdziwe dla dowolnego prawidłowego rozwiązania.

Użycie tego typu notacji można zobaczyć we wzorze na miejsce zerowe funkcji kwadratowej:

${\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}$

Opisuje on dwa rozwiązania równania kwadratowego: ${\displaystyle ax^{2} bx c=0.}$

Również tożsamość trygonometryczna:

${\displaystyle \sin(A\pm B)=\sin(A)\cos(B)\pm \cos(A)\sin(B)}$

może być zinterpretowana jako skrót dla dwóch równań: jednego z po obu stronach równania, oraz jednego z - po obu stronach równania. Obie kopie znaku ± w tej tożsamości muszą być zastąpione w ten sam sposób: nie można zamienić jednego z nich na , a drugiego na -. W przeciwieństwie do funkcji kwadratowej, oba równania tożsamości są tak samo poprawne.

Znak minus-plus (∓) jest zazwyczaj używany w połączeniu ze znakiem ±, w wyrażeniach takich jak: ${\displaystyle x\pm y\mp z}$

• ${\displaystyle x\pm y\mp z}$ może oznaczać ${\displaystyle x y-z}$ oraz ${\displaystyle x-y z}$

• ${\displaystyle x\pm y\mp z}$ nie może oznaczać ${\displaystyle x y z}$ oraz ${\displaystyle x-y-z}$
• ${\displaystyle x\pm y\mp z}$ można zapisać jako ${\displaystyle x\pm (y-z),}$ aby uniknąć nieporozumienia, jednak w przypadku tożsamości najlepiej używać znaku ∓

Przykładowo: ${\displaystyle \cos(A\pm B)=\cos(A)\cos(B)\mp \sin(A)\sin(B)}$

reprezentuje dwa równania:

${\displaystyle \cos(A B)=\cos(A)cos(B)-\sin(A)\sin(B),}$

${\displaystyle \cos(A-B)=\cos(A)cos(B) \sin(A)\sin(B).}$

Innym przykładem, w którym pojawia się znak ∓, jest: ${\displaystyle x^{3}\pm 1=(x\pm 1)(x^{2}\mp x 1).}$

Jeszcze jedno pokrewne zastosowanie można zauważyć we wzorze na sinus szeregu Taylora:

${\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}} {\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}} \dots \pm {\frac {1}{(2n 1)!}}x^{2n 1} \dots }$

W tym przypadku znak ± zaznacza, że termin może być dodany lub ujęty, w zależności od tego czy ${\displaystyle n}$ jest parzyste, czy nieparzyste. Innym sposobem zapisania tego samego wzoru byłoby pomnożenie każdego elementu przez ${\displaystyle (-1)^{n}.}$

Statystyka

Znak ± używany jest najczęściej przy przybliżonym przedstawianiu wartości liczbowej ilości, razem z jej tolerancją lub ze statystycznym marginesem błędu. Przykładowo, ${\displaystyle 5{,}7\pm 0{,}2}$ może znajdować się w dowolnym miejscu w zakresie od 5,5 do 5,9. W użyciu naukowym, ± odnosi się czasem do prawdopodobieństwa znalezienia się w podanym przedziale, odpowiadającym 1 lub 2 odchyleniom standardowym (68,3% lub 95,4% prawdopodobieństwo w rozkładzie Gaussa).

Operacje zawierające niepewne wartości powinny dążyć do zatrzymania niepewności, aby unikać propagacji błędu.

Szachy

Symbole ± oraz ∓ są używane w notacji szachowej aby określić przewagę białych lub czarnych. Zazwyczaj używane są one do pokazania większej przewagi, niż w przypadku użycia i −.

Kodowanie i wpisywanie

Podobne znaki

Symbol plus-minus przypomina chińskie znaki 土 („ziemia”) oraz 士 („uczeń”; „kawaler”).

Przypisy